线性代数及其应用(原书第5版) 摘要

• 第1章：线性方程组

  • 1.1 线性方程组入门

    • **关键点1**: 线性方程组的定义及其在数学和现实世界中的应用。

    • **关键点2**: 高斯消元法，一种求解线性方程组的基本算法。

  • 1.2 线性方程组的矩阵表示法

    • **关键点1**: 如何用矩阵符号表示法书写线性方程组。

    • **关键点2**: 增广矩阵的概念及其在求解线性方程组中的应用。

  • 1.3 行阶梯形与行最简形

    • **关键点1**: 行阶梯形矩阵的生成及其性质。

    • **关键点2**: 行最简形矩阵的概念及其在确定线性方程组解的唯一性和存在性中的作用。

  • 1.4 向量与线性方程组

    • **关键点1**: 向量的概念及其在线性代数中的重要性。

    • **关键点2**: 用向量表示法重写线性方程组，并在此基础上讨论解的结构。

• 第2章：矩阵代数

  • 2.1 矩阵加法与标量乘法

    • **关键点1**: 矩阵加法的定义和性质。

    • **关键点2**: 标量乘法与矩阵的关系。

  • 2.2 矩阵乘法

    • **关键点1**: 矩阵乘法的定义和运算规则。

    • **关键点2**: 矩阵乘法的应用，包括线性变换和线性组合。

  • 2.3 特殊矩阵

    • **关键点1**: 零矩阵和单位矩阵的性质。

    • **关键点2**: 对角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的定义及其应用。

  • 2.4 分块矩阵

    • **关键点1**: 分块矩阵的概念及如何对其进行加减乘运算。

    • **关键点2**: 利用分块矩阵简化大型矩阵运算。

• 第3章：行列式及其应用

  • 3.1 二阶和三阶行列式

    • **关键点1**: 二阶和三阶行列式的值和几何意义。

    • **关键点2**: 行列式按行（列）展开的性质。

  • 3.2 n阶行列式的计算

    • **关键点1**: Laplace展开定理，用于计算n阶行列式。

    • **关键点2**: 行列式性质的应用，包括行列式的性质和代数余子式。

  • 3.3 行列式的秩

    • **关键点1**: 行列式为零与矩阵秩的关系。

    • **关键点2**: 行列式与线性方程组解的关系。

  • 3.4 行列式的应用

    • **关键点1**: 行列式在计算矩阵特征值中的应用。

    • **关键点2**: 行列式在多元函数微积分中的应用。

• 第4章：特征值与特征向量

  • 4.1 特征值与特征向量的定义

    • **关键点1**: 特征值和特征向量的定义及其关系。

    • **关键点2**: 特征值方程和特征多项式的重要性。

  • 4.2 特征值与特征向量的计算

    • **关键点1**: 求解特征值和特征向量的方法，包括幂法和QR算法。

    • **关键点2**: 对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

  • 4.3 特征值的性质与应用

    • **关键点1**: 特征值在理解矩阵行为中的作用。

    • **关键点2**: 特征值在振动系统和稳定性分析中的应用。

  • 4.4 广义特征值问题

    • **关键点1**: 广义特征值问题的定义和应用背景。

    • **关键点2**: 广义特征值问题的求解方法。

• 第5章：线性变换与对角化

  • 5.1 线性变换与矩阵表示

    • **关键点1**: 线性变换的定义和性质。

    • **关键点2**: 线性变换与矩阵的一一对应关系。

  • 5.2 相似变换与对角化

    • **关键点1**: 相似矩阵的概念及其性质。

    • **关键点2**: 对角化的条件和方法，包括可对角化矩阵的特征。

  • 5.3 正交变换与正交矩阵

    • **关键点1**: 正交变换的定义及其在保持向量长度和内积不变方面的性质。

    • **关键点2**: 正交矩阵的特征及其在线性代数中的应用。

  • 5.4 对角化在实际问题中的应用

    • **关键点1**: 对角化在解决差分方程和连续系统问题中的应用。

    • **关键点2**: 对角化在振动系统、电路分析和数据处理中的应用。