普林斯顿微积分读本(修订版)摘要

• 第1章：极限与连续

  • 1.1 极限的定义

    • **关键点1**: 介绍了极限的直观概念。

    • **关键点2**: 形式化定义了极限，以及如何用符号表示。

  • 1.2 极限的性质

    • **关键点1**: 讨论了极限的唯一性、局部有界性和保号性。

  • 1.3 单侧极限与连续

    • **关键点1**: 解释了单侧极限的概念及其与双侧极限的关系。

    • **关键点2**: 定义了函数在某点的连续性。

  • 1.4 极限的计算方法

    • **关键点1**: 介绍了直接代入法、因式分解法和洛必达法则等计算极限的方法。

• 第2章：导数

  • 2.1 导数的概念

    • **关键点1**: 导数是函数在某一点的变化率。

    • **关键点2**: 用极限定义了导数。

  • 2.2 求导法则

    • **关键点1**: 介绍了常数函数的导数、幂函数的导数和乘积法则等基本求导法则。

  • 2.3 复合函数与链式法则

    • **关键点1**: 解释了复合函数的导数如何通过链式法则计算。

  • 2.4 微分与微分方程

    • **关键点1**: 微分的意义及在近似计算中的应用。

    • **关键点2**: 简单介绍了微分方程的基本概念。

• 第3章：积分

  • 3.1 定积分的概念

    • **关键点1**: 介绍了定积分的几何意义，即面积的概念。

    • **关键点2**: 用极限定义了定积分。

  • 3.2 不定积分

    • **关键点1**: 不定积分作为导数的逆运算。

    • **关键点2**: 基本积分表和换元积分法。

  • 3.3 定积分的计算

    • **关键点1**: 介绍了几种计算定积分的方法，包括牛顿-莱布尼茨公式。

  • 3.4 定积分的应用

    • **关键点1**: 应用定积分到几何问题中计算体积和表面积。

• 第4章：多元微积分

  • 4.1 多元函数的极限与导数

    • **关键点1**: 介绍了多元函数的极限概念。

    • **关键点2**: 多元函数的偏导数和全导数。

  • 4.2 二重积分

    • **关键点1**: 二重积分的概念和计算方法，如迭代积分。

  • 4.3 线积分与面积

    • **关键点1**: 解释线积分的概念以及如何计算曲线所围成的区域面积。

  • 4.4 向量微积分

    • **关键点1**: 向量场、散度、旋度和梯度的基本概念。

• 第5章：极值与优化

  • 5.1 无约束优化问题

    • **关键点1**: 介绍了寻找函数最大值和最小值的必要条件，即一阶导数为零的点。

    • **关键点2**: 二阶导数测试用于确定极值的性质。

  • 5.2 约束优化问题和拉格朗日乘数法

    • **关键点1**: 如何使用拉格朗日乘数法来解决带约束条件的优化问题。

• 第6章：泰勒级数与傅里叶级数

  • 6.1 泰勒级数

    • **关键点1**: 将函数展开为泰勒级数的方法。

    • **关键点2**: 泰勒级数在近似计算中的应用。

  • 6.2 傅里叶级数

    • **关键点1**: 将周期函数展开为正弦和余弦函数的和。

• 结语