古今数学思想(第2册)摘要

• 第1章：数学基础

  • 1.1 数的概念

    • 自然数：从1开始的正整数序列。

    • 整数：包括自然数、零和负整数。

    • 有理数：可以表示为两个整数之比的数。

    • 无理数：不能表示为两个整数之比的数。

  • 1.2 算术与代数

    • 算术：研究数的运算性质。

    • 代数：使用符号来代表数和未知数，研究它们的运算规律。

  • 1.3 几何学

    • 欧几里得几何：基于公理系统的几何学。

    • 非欧几里得几何：不遵循欧几里得公理体系的几何学。

• 第2章：古希腊数学

  • 2.1 毕达哥拉斯学派

    • 数的神秘主义：认为数即万物，万物皆数。

    • 毕达哥拉斯定理：直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和。

  • 2.2 欧几里得

    • 《几何原本》：系统化的几何学著作，包含了大量定理的证明。

    • 公理化方法：从一组公理出发，通过逻辑推理得到一系列结论。

  • 2.3 阿基米德

    • 阿基米德原理：浮力等于物体排开流体的重量。

    • 阿基米德螺旋：连续旋转一个直角三角形得到的曲线。

• 第3章：东方的数学发展

  • 3.1 古印度数学

    • 零的概念：古印度数学家首先引入了零作为一个数字。

    • 十进制记数法：印度人完善的十进制数系统。

  • 3.2 古中国数学

    • 《九章算术》：古代中国的数学百科全书，收录了大量的数学问题和解法。

    • 刘徽的割圆术：使用多边形逼近圆形的方法来计算圆周率。

• 第4章：文艺复兴后的欧洲数学

  • 4.1 解析几何的诞生

    • 笛卡尔坐标系：将代数方程与几何图形联系起来。

    • 费马与莱布尼茨：分别独立发现微积分的基本概念。

  • 4.2 微积分的发展

    • 牛顿与莱布尼茨：微积分学的两位创始人。

    • 微分与积分：微分的概念是求变化率，积分是求总量。

  • 4.3 概率论的起源

    • 帕斯卡与费马：解决了关于赌博问题的信件交流，奠定了概率论的基础。

• 第5章：现代数学概览

  • 5.1 非欧几里得几何的接受

    • 高斯、罗巴切夫斯基和波尔约：各自独立发展了非欧几里得几何。

  • 5.2 数学分析的严格化

    • 柯西、魏尔斯特拉斯等：为数学分析奠定了严格的基础。

  • 5.3 现代数学的多样性和复杂性

    • 拓扑学、集合论、数论：现代数学的多个分支领域得到了快速发展。